Metode-Metode Penjumlahan Vektor

Halo semua...

Budi merupakan seorang penduduk Indonesia. Saat ini ia tinggal di Surabaya. Pada suatu hari, Ia berangkat jalan-jalan ke luar negeri. Negara yang dituju adalah Argentina. Namun, karena Budi kurang konsentrasi, ia salah naik pesawat. Ternyata pesawat yang ditumpanginya menuju arah Jepang. Lho kok bisa? Ya nggak tahu, kan yang kesasar Budi, bukan saya. 😆 Akhirnya, Budi sampai di Jepang dan kemudian membeli tiket ke Argentina dan melanjutkan perjalanannya sehingga dia rugi waktu dan biaya. Lihat peta dari Google Maps berikut ini.
Ilustrasi
Karena petanya datar, bukan berarti Bumi itu datar. Sebenarnya dalam menggambar lintasan pesawat pada peta datar itu dengan garis melengkung, karena bentuk Bumi itu bulat. Hanya saja untuk memudahkan dalam membahas vektor ini, kita anggap Bumi itu datar sehingga garisnya juga datar. Eits... hanya menganggap datar lho ya 😊

Nah, peta perjalanan di atas dapat digambarkan dalam bentuk vektor seperti pada gambar di bawah. S adalah Surabaya, J adalah Jepang, dan A adalah Argentina. Jika jarak antar negara diketahui, kita bisa mengukur perpindahan Budi pada garis yang berwarna merah menggunakan operasi penjumlahan vektor.

Penjumlahan Vektor


Pada gambar di atas, jarak S dan J adalah sekitar 5,6 × 103 km, sementara jarak J dan A adalah 1,75 × 104 km. Berapakah besar perpindahan Budi? Karena perpindahan adalah besaran vektor, maka perpindahan dari S ke J akan disimbolkan dengan SJ, perpindahan dari J ke A disimbolkan JA, dan perpindahan dari S ke A disimbolkan SA.

Nah, karena gambar tersebut membentuk sudut siku-siku di titik J, maka kita bisa menghitung perpindahan Budi, yang digambarkan dengan panah berwarna biru, menggunakan teorema Phytagoras.


Jadi, perpindahan Budi adalah 1,84 × 104 km atau 18.400 km. Nah, dari cerita Budi tersebut, kita bisa mengetahui bahwa penjumlahan vektor tidak hanya sekadar menjumlahkan nilai perpindahan seperti penjumlahan aljabar biasa, misalnya 5.600 km + 17.500 km = 23.100 km. Pada penjumlahan vektor hasilnya belum tentu 23.100 km, karena tergantung arah dari vektor tersebut. Nah, untuk itu kita akan mempelajari berbagai metode besaran vektor.

Di sini akan diberikan beberapa vektor terlebih dahulu yang akan dijumlahkan menggunakan metode-metode di bawah. Misalnya ada vektor A, B, C, D, dan E yang arah dan besarnya seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Penjumlahan Vektor Metode Grafis


Penjumlahan vektor metode grafis, adalah penjumlahan vektor menggunakan gambar. Jadi, besar (panjang) dan arah vektor harus tepat agar hasilnya tidak meleset. Maka dari itu, dibutuhkan penggaris dan busur derajat untuk melakukan penjumlahan vektor metode grafis ini.

Penjumlahan vektor metode grafis ini dibagi lagi menjadi tiga metode, yaitu metode segitiga, metode jajargenjang, dan metode poligon.

A. Metode Segitiga

Berdasarkan vektor-vektor di atas, bagaimanakah cara menggambarkan penjumlahan vektor A + B? Ada beberapa langkah yang harus dilakukan untuk menjumlahkan dua vektor di atas. Berikut langkah-langkahnya:
  1. Gambar vektor A terlebih dahulu.
  2. Gambar vektor B dengan pangkalnya berada di ujung vektor A.
  3. Gambar sebuah vektor dari pangkal vektor A ke ujung vektor B. Vektor yang digambar ini merupakan vektor hasil penjumlahan A + B yang disebut resultan vektor (dilambangkan dengan R atau huruf R dengan panah di atasnya).
Langkah-langkah di atas bisa dilihat pada gambar berikut ini.

B. Metode Jajargenjang 

Selain metode segitiga di atas, ada lagi metode penjumlahan vektor yang lain, yaitu metode jajargenjang. Misalnya vektor yang sama dengan yang digunakan pada metode segitiga di atas, yaitu vektor A dan B. Bagaimanakah menggambar penjumlahan vektor A + B menggunakan metode jajargenjang? Berikut ini langkah-langkahnya:
  1. Gambar vektor A terlebih dahulu.
  2. Gambar vektor B dengan pangkalnya berada di pangkal vektor A.
  3. Buat garis putus-putus yang sejajar dengan vektor A yang dimulai dari ujung vektor B.
  4. Buat garis putus-putus yang sejajar dengan vektor B yang dimulai dari ujung vektor A.
  5. Setelah terbentuk jajargenjang, gambar sebuah vektor yang dimulai dari pangkal kedua vektor sampai pertemuan garis putus-putus yang digambar pada langkah 3 dan 4 di atas. Vektor baru ini adalah hasil penjumlahan A + B yang disebut dengan resultan vektor (R).
Kelima langkah tersebut dapat dilihat pada gambar berikut ini:

C. Metode Poligon

Penjumlahan vektor metode poligon ini caranya sama dengan metode segitiga. Tetapi, pada metode poligon ini yang dijumlahkan lebih dari dua vektor. Misalnya, vektor A, B, C, D, E di atas kita jumlahkan semua. Maka yang harus kita lakukan adalah:
  1. Gambar vektor A terlebih dahulu.
  2. Gambar vektor B dengan pangkalnya berada di ujung vektor A.
  3. Gambar vektor C dengan pangkalnya berada di ujung vektor B.
  4. Gambar vektor D dengan pangkalnya berada di ujung vektor C.
  5. Gambar vektor E dengan pangkalnya berada di ujung vektor D.
  6. Gambar sebuah vektor baru dimulai dari pangkal vektor A sampai ke ujung vektor E. Vektor baru ini adalah resultan vektor (R) dari A + B + C + D + E.
Keenam langkah di atas dapat dilihat pada gambar di bawah.

Penjumlahan Vektor Metode Analitis


Selain menggunakan metode grafis, kita juga bisa menjumlahkan vektor dengan metode analisis. Pada metode ini, kita tidak perlu ketepatan dalam menggambar. Hanya saja, kita harus tahu berapa panjangnya dan ke mana arahnya.

Agar kita bisa menjumlahkan vektor dengan metode analitis, kita harus menguraikan vektor-vektor yang akan kita jumlahkan ke dalam komponen-komponennya. Penguraian vektor sudah pernah kita bahas pada pembahasan sebelumnya.

Sekarang, kita akan menjumlahkan vektor A, B, dan C di atas menggunakan metode analitis. Bagaimana caranya? Untuk menentukan hasil penjumlahan dari A + B + C kita harus mengikuti langkah-langkah berikut ini:
  1. Gambar koordinat kartesius dua dimensi terlebih dahulu. Kemudian gambar vektor-vektor A, B, dan C dengan pangkalnya berada di pusat koordinat.
  2. Uraikan vektor-vektor A, B, dan C ke dalam komponen sumbu-x (menjadi Ax, Bx, dan Cx) dan ke dalam komponen sumbu-y (menjadi Ay, By, dan Cy).
Kedua langkah tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.

Setelah digambar, kemudian jumlahkan semua vektor pada masing-masing komponennya. Jadi, yang berada di komponen sumbu-x dijumlahkan sehingga menjadi resultan vektor sumbu-x (Rx) dan komponen vektor pada sumbu-y dijumlahkan sehingga menjadi resultan vektor sumbu-y (Ry).

Nah, pada gambar di atas, kita bisa menuliskan resultan masing-masing komponen vektor sebagai berikut:

Rx = Ax - Bx
Ry = Ay+ By - C

Karena antara resultan vektor sumbu-x dan sumbu-y membentuk sudut 90° maka besar resultan R dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras.
Sedangkan arahnya dapat dicari dengan:

Pengurangan Vektor


Pada penjumlahan aljabar biasa terdapat sifat pengurangan, yaitu a - b = a + (-b). Nah, hal ini juga berlaku di dalam pengurangan vektor. Pada pengurangan vektor, kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

A - B = A + (-B)

Pengurangan dan penjumlahan vektor memiliki cara (metode) yang sama. Jadi tidak perlu dijelaskan lagi di sini. Hanya saja, pada pengurangan terdapat vektor negatif, misalnya pada contoh di atas terdapat vektor -B yang besarnya sama dengan vektor B, tetapi arahnya berlawanan. Perhatikan gambar berikut:
 

Penjumlahan Vektor yang Membentuk Sudut


Pada cerita Budi di atas, kita mencari resultan vektor dengan menggunakan teorema Phytagoras karena sudut yang dibentuk adalah sudut 90° atau jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku. Bagaimana cara mencari resultan vektor, jika sudut yang dibentuk bukan sudut 90°? Nah, misalnya ada dua buah vektor A dan B yang dijumlahkan dan membentuk sudut tertentu, kita bisa menggunakan rumus berikut untuk mencari resultan vektornya.
Cukup sekian pembahasan mengenai penjumlahan vektor kali ini. Semoga bermanfaat.

0 komentar