Perkalian Vektor

Halo semua...

Setelah sebelumnya kita membahas tentang penjumlahan dan pengurangan pada besaran vektor, kali ini kita akan membahas operasi perkalian pada vektor. Di pembahasan ini kita akan mempelajari tiga cara perkalian yang melibatkan vektor. Pertama adalah perkalian vektor dengan skalar, kedua perkalian titik (dot product) antara dua vektor, dan ketiga adalah perkalian silang (cross product) antara dua vektor.

Perkalian Vektor dengan Skalar

Ilustrasi
Perhatikanlah sebuah mobil yang melaju di jalanan, seperti pada gambar ilustrasi di atas. Mobil itu pasti mengalami perpindahan kan? Bagaimana cara mencari perpindahan mobil? Ya, betul sekali. Cara mencarinya dengan menggunakan konsep kecepatan. Apa sih kecepatan itu? Kecepatan adalah perpindahan per satuan waktu. Dari sini kita bisa mencari perpindahan dari mobil dengan persamaan:

x = v t

Pada rumus di atas terlihat v atau kecepatan adalah besaran vektor dan t atau waktu adalah besaran skalar. Nah, jadi ada vektor dikalikan skalar. Bagaimana hasilnya? Hasilnya adalah vektor, karena x atau perpindahan adalah vektor. Kesimpulannya, hasil kali antara vektor dan skala adalah sebuah vektor.

Hasil kali suatu vektor A dengan sebuah skalar k menghasilkan sebuah vektor kA yang besarnya adalah besar A dikali dengan k. Sedangkan arahnya tergantung dari skalar k. Jika k positif, maka arahnya searah dengan A. Sebaliknya, jika k negatif, maka arahnya berlawanan dengan A.

Perkalian Titik antara Dua Vektor


Selain perkalian antara vektor dengan skalar, perkalian juga berlaku antara vektor yang satu dengan vektor yang lain. Salah satu perkalian antara dua vektor adalah perkalian titik (dot product). Dari namanya sudah jelas bahwa perkalian ini menggunakan titik sebagai operatornya, yang dibaca "dot".

Perkalian titik adalah perkalian antara besar vektor pertama (misalnya A) dengan besar vektor kedua (misalnya B) pada arah vektor pertama. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat gambar.
Pada gambar di atas terlihat bahwa pada arah yang sama dengan vektor A terdapat komponen vektor B cos α. Jadi perkalian titik antara A dan B dapat dituliskan seperti di bawah ini.

AB = AB cos α = |A| |B| cos α

Dari persamaan di atas terlihat bahwa hasil perkalian titik dua vektor adalah skalar.

Sebelumnya kita telah mempelajari tentang vektor satuan. Nah, bagaimana perkalian titik antara dua vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan?

Ok, dalam vektor satuan, sudut yang dibentuk komponen satu dengan lainnya adalah 90°. Sehingga jika komponen yang sama dikalikan (sudutnya 0°) maka hasilnya adalah 1 karena cos 0° = 1 dan jika komponen yang berbeda dikalikan (sudutnya 90°) maka hasilnya adalah 0 karena cos 90° = 0. Sehingga perkalian vektor satuan dapat dituliskan seperti berikut ini.

î • î = ĵ • ĵ = k̂ • k̂ = 1
î • ĵ = ĵ • k̂ = k̂ • î = 0

Dengan definisi di atas, kita bisa menghitung perkalian titik dari dua vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. Misalnya perkalian antara vektor A yang telah didefinisikan sebagai A = Axî + Ayĵ + Azk̂ dan vektor B yang telah didefinisikan sebagai B = Bxî + Byĵ + Bzk̂. Maka hasilnya adalah:

AB = (Axî + Ayĵ + Azk̂) • (Bxî + Byĵ + Bzk̂)
A • B = AxBx + AyBy + AzBz

Perkalian Silang antara Dua Vektor


Perkalian silang (cross product) merupakan perkalian vektor yang menggunakan simbol silang sebagai operatornya yang dibaca "cross".

Perkalian silang didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut ini.
Pada gambar di atas, terdapat komponen vektor yang tegak lurus vektor A yaitu B sin α. Nah, perkalian vektor pada gambar di atas dapat ditulis sebagai berikut.

A × B = C
|A × B| = AB sin α

Hasil dari perkalian silang antara dua vektor ini adalah vektor lain, yang pada persamaan di atas dimisalkan sebagai C, yang besarnya AB sin α. Sedangkan arah vektor hasil perkalian ini adalah tegak lurus vektor A dan B seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Pada vektor satuan, perkalian silang dapat dituliskan sebagai berikut.

î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0
î × ĵ = k̂      ĵ × k̂ = î      k̂ × î = ĵ
ĵ × î = -k̂      k̂ × ĵ = -î      î × k̂ = -ĵ

Dari definisi di atas, kita bisa mencari hasil perkalian silang antara dua vektor yang sudah didefinisikan, yaitu antara vektor A yang telah didefinisikan sebagai A = Axî + Ayĵ + Azk̂ dan vektor B yang telah didefinisikan sebagai B = Bxî + Byĵ + Bzk̂. Caranya adalah seperti berikut ini:

A × B = (Axî + Ayĵ + Azk̂) × (Bxî + Byĵ + Bzk̂)
A × B = AxBx(î × î) + AxBy(î × ĵ) + AxBz(î × k̂) + AyBx(ĵ × î) + AyBy(ĵ × ĵ) + AyBz(ĵ × k̂) + AzBx(k̂ × î) + AzBy(k̂ × ĵ) + AzBz(k̂ × k̂)
A × B = 0 + (AxBy)k̂ - (AxBz)ĵ - (AyBx)k̂ + 0 + (AyBz)î + (AzBx)ĵ - (AzBy)î + 0
A × B = (AyBz - AzBy)î + (AzBx - AxBz)ĵ + (AxBy - AyBx)k̂

Baiklah, sekian pembahasan kita kali ini tentang perkalian vektor. Semoga bermanfaat.

0 komentar